Contoh Soal Metode Grafik Pada Program Linear

Contoh Soal Metode Grafik Pada Program Linear – Salah satu metode dalam penentuan sebuah nilai di persoalan matematika adalah dengan menggunakan program linear. Persoalan linear dapat kita pelajari pada konsep sistem persamaan linear yang terdiri atas lebih dari satu persamaan linear. Dalam operasi linear ini, tujuan utamanya adalah untuk memperoleh nilai optimum, baik maksimal atau minimal.

Dalam persoalan linear memiliki fungsi linear tersendiri yang disebut sebagai fungsi objektif. Fungsi ini berhubungan dengan persyaratan mengenai batasan dan kendala pada persoalan linear sehingga dapat menemukan sistem pertidaksamaan linear. Agar dapat menemukan persoalan-persoalan linear dapat menggunakan dua metode yang perlu dikuasai, yaitu metode grafik dan metode simplek.

Pada kesempatan kali ini, kalian akan mempelajari mengenai program linear berdasarkan metode grafik. Agar lebih memahami lebih lanjut mengenai metode grafik pada program linear, pahami materi dan beberapa soal berikut.

Baca juga: Contoh Soal Diskonto Dan Pembahasan

Baca juga: Persamaan Linear Satu Variabel

Program Linear

Program linear pada metode matematika merupakan suatu metode yang dapat digunakan untuk memecahkan sebuah masalah berdasarkan kaitannya dengan optimasi linear. Optimasi linear dapat berhubungan dengan mencari nilai maksimum atau minimum sebuah persamaan atau pertidaksamaan linear.

Sistem persamaan linear merupakan kumpulan dari beberapa persamaan linear yang dapat membentuk banyaknya solusi terhingga atau tak terhingga, bahkan dapat tidak membentuk sebuah solusi. Bentuk umum dari sistem persamaan linear dapat berupa dua variabel atau tiga variabel.

Suatu sistem persamaan linear tiga variabel dapat dihitung dengan mengubah bentuknya menjadi bentuk sistem persamaan linear dua variabel. Hal ini dapat dilakukan melalui metode eliminasi terlebih dahulu, baru dilanjutkan dengan metode subtitusi dua variabel. Lalu, untuk sistem pertidaksamaan linear biasanya menggunakan sistem dua variabel saja.

Persamaan dan pertidaksaman linear memiliki sifat yang sama, seperti nilainya tidak berubah jika ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama dan tidak berubah pula jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama. Bedanya, dalam persamaan linear memiliki dua ruas yang dapat dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang tandanya tetap sama meskipun ada sama dengan (=). Lalu, pada pertidaksamaan linear, tandanya dapat berubah menjadi tanda sebaliknya. Misalnya, pertidaksamaan linear berikut.

-3x + 2 < 20

= -3x < 18

= 3x > -18 (perhatikan bagian ini. Tanda < berubah menjadi > saat kedua ruas dikali dengan negatif (-))

= x > -6

Baca juga: Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Model Matematika Metode Grafik

Pada program linear, terdapat fungsi linear yang disebut sebagai fungsi obektif dengan persyaratan batasan dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear. Penentuan persoalan linear fungsi objektif akan berhubungan dengan persoalan maksimum dan minimum dalam penentuan grafik.

Penyelesaian program linear berkaitan dengan kemampuan untuk membuat sketsa daerah himpunan penyelesaian sistem. Oleh karena itu, dibutuhkan teknik yang digunakan untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian sebagai berikut.

1. Pertama, buatlah sumbu koordinat kartesius, lalu tentukan titik potong pada sumbu x dan y dari persamaan linear.
2. Kemudian, buatlah sketsa grafik yang menghubungkan antara titik-titik potongnya.
3. Setelah menghubungkan titik potong, pilih satu titik uji yang berada di luar garis.
4. Dengan begitu, dapat melakukan substitusi pada persamaan dengan menentukan daerah yang dimaksud.

Program linear juga dapat ditampilkan dengan bahasa cerita. Hal ini dapat diproses dengan pengubahan bahasa cerita menjadi bahasa atau model matematika. Dengan adanya model matematika, kita dapat membentuk penalaran mengenai permasalahan yang terjadi sehingga dapat diterapkan dengan bentuk matematika, seperti penggunaan variabel x dan y.

Misalnya, Sebuah pesawat udara berkapasitas tempat duduk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg dan kelas ekonomi hanya 20 kg. Pesawat hanya dapat menampung bagasi 1.440 kg. Gambarkan titik sudutnya.

X = Banyaknya penumpang kelas utama dan Y = banyaknya penumpang kelas ekonomi

	Sedan (x)	Bus (y)	Total	Pertidaksamaan
Total penumpang	1	1	48	x + y ≤ 48
Berat bagasi	60	20	1440	60x + 20y ≤ 1440

Jadi, berdasarkan pertidaksamaan tersebut, model matematikanya adalah:

Total penumpang : x + y ≤ 48

Berat bagasi : 60x + 20y ≤ 1.440; disederhanakan menjadi 3x + y ≤ 72

Banyaknya penumpang di kelas utama (x) tidak mungkin negatif : x ≥ 0

Banyaknya penumpang di kelas ekonomi (y) tidak mungkin negatif : y ≥ 0

Gambar daerah himpunan penyelesaian

Perpotongan garis-garis x + y = 48 dan 3x + y = 72 dengan melakukan teknik eliminasi dan substitusi didapatkan x=12; y=36 atau (12,36). Titik-titik sudut yang lain adalah (0,0); (24,0); dan (0,48).

Baca juga: Persamaan Linear Tiga Variabel

Baca juga: Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Contoh Soal

Setelah mempelajari sekilas mengenai program linear dan metode grafik pada penjelasan di atas, agar dapat lebih memahami lagi mengenai materi ini coba pahami contoh-contoh soal berikut yang disertai dengan pembahasannya.

1. Buatlah sketsa daerah himpunan penyelesaian system pertidaksamaan linear ? + 3? ≤ 3, 2? + ? ≥ 2, ? ≥ 0, ? ≥ 0!

Pembahasan:

x + 3y = 3

x	y	(x,y)
0	1	(0,1)
3	0	(3,0)

2x + 3y = 2

x	y	(x,y)
0	2	(0,2)
1	0	(1,0)

y = 0 atau sepanjang sumbu x

Titik uji (3,2)

(a) diuji pada ? + 3? ≤ 3 didapatkan 3 + 3.2 = 9 ≤ 3 (salah) sehingga daerah himpunan penyelesaian adalah sebelah atas dari garis ? + 3? = 3

(b )diuji pada ? + 3? ≤ 3 didapatkan 3 + 3.2 = 9 ≤ 3 (salah) sehingga daerah himpunan penyelesaian adalah sebelah bawah dari garis ? + 3? = 3

(c) diuji pada 2 ? + ? ≥ 2, didapatkan 2.3 + 2 = 8 > 3 ,(benar) sehingga daerah himpunan penyelesaian adalah sebelah atas dari garis 2? + ? = 2

(d) titik (3,2) terletak di atas garis y=o sehingga daerahnya  di atas sumbu x.