Persamaan Linear Tiga Variabel


3x + 2y + z = 20 … (2)

X + 4y + 2z = 15 … (3)



SPLTV dapat ditentukan himpunan penyelesaiannya dengan mengeliminasi variabel z. Pertama, jumlahkan persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh:

2x + 3y – z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y       = 40

x + y           = 8 … (4)



Kemudian, kalikan 2 pada persamaan (2) dan kalikan 1 pada persamaan (1) sehingga diperoleh:

3x + 2y + z = 20  |x2     6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15  |x1           x + 4y + 2z = 15

5x              = 25



x                = 5

Setelah mengetahui nilai x, substitusikan ke persamaan (4) sebagai berikut.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3



Substitusikan nilai x dan y pada persamaan (2) sebagai berikut.

3x + 2y + z = 20

3(5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -1

Sehingga diperoleh himpunan penyelesaian SPLTV (x, y, z) adalah (5, 3, -1).

Soal 2 (Dengan Metode Subtitusi)

x + y + z = -6 … (1)

x – 2y + z = 3 … (2)

-2x + y + z = 9 … (3)

Pertama, kita dapat mengubah persamaan (1) menjadi, z = -x – y – 6 menjadi persamaan (4). Kemudian, kita dapat menyubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (2) sebagai berikut.

x – 2y + z = 3

x – 2y + (-x – y – 6) = 3

x – 2y – x – y – 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Setelah itu, kita dapat menyubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (3) sebagai berikut.

-2x + y + (-x – y – 6) = 9

-2x + y – x – y – 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Kita sudah mendapatkan nilai x = -5 dan y = -3. Kita dapat memasukkannya ke persamaan (4) untuk memperoleh nilai z sebagai berikut.

z = -x – y – 6

z = -(-5) – (-3) – 6

z = 5 + 3 – 6

z = 2

Jadi, kita mendapat himpunan penyelesaian (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Baca juga: Contoh Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Soal 3 (Dengan Metode Gabungan)

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini menggunakan metode gabungan!

Jawab:

Kita beri nama ketiga persamaan SPLTV di atas:

Langkah 1 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2)):

Langkah 2 (eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (3)):

Langkah 3 (mencari nilai x dengan metode subtitusi):

Persamaan (4) ekuivalen dengan persamaan  Subtitusikan persamaan  ke persamaan (5).

Langkah 4 (subtitusikan nilai y ke persamaan (5) untuk memperoleh nilai x):

Langkah 5 (subtitusikan nilai x dan y ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai z):

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah .



Leave a Comment