Cara Menghitung Akar Kuadrat Secara Manual


Menghitung Akar Kuadrat Manual – Pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai cara mencari akar kuadrat dengan hasil bilangan desimal atau koma.

Saat duduk di bangku sekolah dasar kita akan dihadapkan dengan materi akar kuadrat dalam pelajaran matematika. Dan akar kuadrat ini sangat penting untuk dipelajari karena begitu banyak rumus-rumus matematika yang memiliki akar kuadrat. Tidak hanya dalam pelajaran itu saja, akar kuadrat juga dapat dengan mudah ditemui di dalam ilmu statistik dan lain-lain.

Akar kuadrat atau juga disebut akar pangkat dua bisa dibilang menjadi materi dasar dalam perpangkatan dan akar. Selain akar kuadrat masih ada akar lainnya, seperti akar pangkat tiga. Kita biasanya menggunakan alat bantu seperti kalkulator untuk menghitungnya. Hanya saja ketika ujian tentu kita tidak boleh menggunakan alat tersebut.

Sehingga tidak ada pilihan lain selain menghitungnya secara manual. Dalam menghitung akar kuadrat ada beberapa metode yang bisa kita coba. Mulai dari menerka-nerka bilangan yang tepat dari soal akar kuadrat yang kita hadapi, sampai metode ekstraksi.

Pada kesempatan ini kami bahas lebih lanjut mengenai bagaimana cara mencari akar kuadrat secara manual. Akan tetapi kita awali terlebih dahulu dari mengetahui definisi akar kuadrat itu sendiri. Selamat membaca pembahasan berikut ini.

Baca juga: Cara Menghitung Akar Pangkat 3

Apa itu Akar Kuadrat

Dalam matematika diketahui bahwa kuadrat merupakan hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Namun akar kuadrat atau akar pangkat 2 adalah kebalikan dari kuadrat atau invers pangkat 2 dari suatu bilangan. Akar kuadrat dalam bahasa Inggris disebut “square root” dan biasanya ditandai dengan tanda “√”.

Jika dinyatakan nilai akar kuadrat suatu bilangan x adalah y maka berlaku x = y², dengan catatan x dan y merupakan bilangan real. Maka juga dapat kita tulis dengan √x = y atau dibaca “akar kuadrat dari x sama dengan y”.

Metode Perhitungan Akar Kuadrat Bilangan Bulat

Ada beberapa cara yang bisa diterapkan dalam mencari akar kuadrat suatu bilangan bulat. Berikut kami jelaskan secara singkat. 

Dengan cara perkalian

Pertama-tama carilah angka atau bilangan bulat yang bisa dikalikan dengan dirinya sendiri terlebih dahulu. Hal ini dikarenakan, akar kuadrat sebuah bilangan bulat merupakan suatu bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan yang sama maka hasilnya adalah angka yang semula.

Contoh: diketahui akar kuadrat dari 1 yaitu 1 karena 1 dikalikan 1 sama dengan 1. Begitu juga dengan akar kuadrat dari 4 adalah 2 karena 2 dikalikan 2 sama dengan 4. Dan seterusnya dengan bilangan-bilangan bulat lainnya.

Dengan cara pembagian bersusun

Cara untuk menghitung akar kuadrat bisa juga dengan menggunakan pembagian bersusun. Pembagian akan lebih memudahkan dalam menghitung karena prosesnya jelas dan tidak perlu menerka-nerka. Hanya perlu menyusun dengan urutan yang benar. Jadi untuk mencari akar kuadrat dari bilangan bulat kalian tinggal membagi bilangan itu sampai mendapatkan hasil atau jawabannya.

Perlu diketahui, untuk bilangan bulat akar kuadratnya tidak memiliki pecahan atau desimal.

Contoh: jika 16 : 4 = 4, maka 4 : 2 = 2 dan seterusnya. Maka akar kuadrat dari 16 adalah 4 dan akar kuadrat dari 4 adalah 2.

Dengan menggunakan simbol untuk kuadrat

Cara lain untuk memudahkan dalam mencari akar kuadrat adalah menggunakan symbol. Simbol akar kuadrat sudah digunakan sejak dahulu oleh para matematikawan.

Seperti yang sudah diketahui sebelumnya, bentuk simbolnya yaitu seperti tanda centang “√”. Penggunaan simbol ini biasanya dengan meletakkan nilai N di bawah tanda centang. Dimana N merupakan bilangan yang akan dicari nilai akar kuadratnya.

Semisal untuk mencari akar kuadrat dari 4, maka tuliskan rumusnya yaitu dengan meletakkan nilai N (4) di dalam tanda centang tersebut.  Kemudian tuliskan secara langsung simbol yang sama dan ditulis dengan angka 2 yang artinya akar kuadrat dari 4 adalah 2.

Contohnya: √4 = 2, maka 4 : 2 = 2

Cara Menghitung Akar Kuadrat

Sebagai contoh soal misalnya apabila akar kuadrat dari 124 ?

• penyelesaiannya adalah kita cari 2 jawaban terdekat dari akar kuadrat 124, maka akan kita temukan hasil sementara 11 dan 12

• 11^2 = 121 —-> kurang dari 124 / lebih kecil

• 12^2 = 144 —-> terlalu besar

• kesimpulan sementara jawaban nya adalah 11 koma

• kemudian kita cari selisih antara 124 dan 121 ——> 124-121 = 3

• kemudian kita cari selisih kedua nilai terdekat 144 dan 121 ——> 144-121 = 23

• jadi kita peroleh pecahannya adalah 3/23

• sehingga di dapatkan jawaban akar dari 124 adalah 11 + 3/23 = 11,13

Kemudian jika menggunakan cara kedua dalam cara menghitung akar kuadrat dengan hasil desimal bisa memakai cara pemfaktoran, anda bisa melihat detailnya dibawah ini :

Pada cara kedua tersebut bisa memakai pohon faktor yaitu 124 di bagi 2 hasilnya 62, lalu di bagi 2 yang nantinya akan diperoleh angka 31 yang sudah tidak bisa dibagi lagi sehingga diperoleh hasil akhir 124 = 2^2 x 31
Dengan begitu V 124 = V 2^2 x V 31 = 2V31

Apabila masih bingung, bisa memakai cara manual seperti yang akan saya berikan dibawah ini :

Langkah pertama : cari angka berapa yang apabila dikalikan hasilnya akan kurang dari atau sama dengan 2 seperti misalnya 1 x 1. Setelah itu baru kurangi 2,3 dengan 1. Ingat harus ada 2 angka yang turun saat dikurangi.

Langkah kedua : tambahkan angka sebelumnya seperti 1 +1 kemudian kita punya angka 2. Dua puluh ‘berapa’ dikalikan dengan ‘berapa’ yang hasilnya kurang dari atau sama dengan 130, adalah 25 x 5 = 125. Setelah itu baru dikurangi 130 dengan 125. Maka hasilnya adalah 5, setiap operasi harus ada 2 angka yang turun sehingga nanti diperoleh angka 500.

Langkah ketiga : Dengan menambahkan 25 + 5 = 30 Lalu tiga ratus ‘berapa’ dikalikan dengan ‘berapa’ yang hasilnya kurang dari atau sama dengan 500. misalnya 301 x 1 = 301.

Langkah keempat : Berikutnya coba cari angka yang nanti akan diperoleh 3026 x 6 = 18156 maka nanti akan tersisa 1744.

Langkah kelima : Coba lihat angka satuan yang sudah kita dapat tadi seperti 1 5 1 6. Itu nantinya akan menjadi akar pangkat dua dari 2,3. Dengan menyimpan koma, setelah angka pertama.

Maka hasilnya akar pangkat dua dari 2,3 adalah 1,516.

Langkah Mencari Akar Kuadrat dari Bilangan Lain

Mencari akar kuadrat yang bilangannya bukan merupakan bilangan bulat mungkin cukup menyulitkan. Akan tetapi cara untuk mencari akar kuadrat dari bilangan lain bisa dengan menerka-nerka suatu bilangan dan menggunakan metode eliminasi.

Sebagai contoh jika Anda mencari akar kuadrat dari bilangan 20, maka pasti Anda akan menebak bahwa jawabannya antara 4 dan 5. Karena bilangan di antara 20 yaitu 16 yang memiliki akar kuadrat 4, dan bilangan 25 yang akar kuadratnya adalah 5.

Akan tetapi ternyata jawaban yang telah Anda tebak ternyata salah. Pasalnya hasil perkalian dari 4,5 dikali 4,5  adalah 20,25,  bernilai lebih dari bilangan yang kita cari. Kuncinya untuk mendapatkan jawaban dari akar kuadrat dari 20 Anda bisa menggunakan hasil yang mendekati bilangan 20.

Selanjutnya, cara untuk mencari akar kuadrat dari bilangan lain yaitu dapat menggunakan metode rata-rata. Dalam  menggunakan metode rata-rata caranya sama seperti metode sebelumnya yaitu mencari 2 bilangan kuadrat yang sempurna yang berada diantara bilangan akar kuadrat yang akan Anda cari. 

Setelah itu kedua bilangan tersebut dapat dibagi dengan bilangan dari akar kuadrat sempurna. Setelah mengetahui jawaban nya, carilah  rata-rata diantara bilangan itu serta bilangan yang akan dicari akar kuadratnya. Kemudian silahkan dibagi bilangan yang pertama tadi dengan rata-rata yang telah diperoleh. Dan terakhir, cari rata-rata hasilnya dengan rata rata yang dihitung pertama kali tadi.

Mengkuadratkan Bilangan Negatif

Sama dengan bilangan lainnya, pengkuadratan bilangan negatif prosesnya juga sama saja. Yang membedakan jika suatu bilangan negatif dikalikan dengan bilangan yang negatif juga maka hasilnya akan menjadi bilangan positif. Sehingga bisa ditarik kesimpulan jika akar dari suatu bilangan negatif hasilnya adalah bilangan positif.

Contohnya: jika -4 dikalikan dengan -4 hasilnya adalah 16, tapi 4 dikalikan dengan 4 hasilnya juga 16. Namun dalam kasus ini, akar dari 16 hasilnya bisa  saja ganda, artinya bisa berupa bilangan negatif atau berupa  bilangan positif. Hal ini didasarkan bahwa pada setiap bilangan itu mempunyai dua akar kuadrat yaitu positif dan negatif.

Cara Menghitung Akar Kuadrat dengan Metode Ekstraksi

Metode ekstraksi (longhand method) merupakan metode yang paling mudah untuk digunakan, hal itu didasarkan pada catatan dari J.B Calvert (1999) mengenai metode ekstraksi. Cara kerja  dari metode ini yaitu dengan memisahkan 2 digit bilangan yang dihitung.

Selain itu, terdapat berbagai metode lain yang digunakan untuk menghitung akar kuadrat seperti metode logaritma (tercepat) atau dengan metode aritmatika yang dikatakan lebih akurat. Dibawah ini adalah dasar dari penggunaan metode ekstraksi:

  • Memahami tentang perpangkatan 2 (kuadrat)
Pangkat 2 Akar Pangkat 2
1² =  1 × 1 = 1 √1 = 1
2² = 2 × 2 = 4 √4 = 2
3² = 3 × 3 = 9 √9 = 3
4² = 4 × 4 = 16 √16 = 4
5² = 5 × 5 = 25 √25 = 5
6² = 6 × 6 = 36 √36 = 6
7² = 7 × 7 = 49 √49 = 7
8² = 8 × 8 = 64 √64 = 8
9² = 9 ×9 = 81 √81 = 9
10² = 10 ×10 = 100 √100 = 10
  • Mengekstrak suatu bilangan. Dalam mengekstrak suatu bilangan bisa dimulai 2 digits dari satuan.

11

1 11

11 11

1 11 11

11 11 11

11 11 11, 10

11 11 11, 11

11 11 11, 11 10

dan seterusnya

  • Mencari akar ekstraksi pertama dari kiri
  • Mencari akar ekstraksi selanjutnya, yaitu: 
    • Proses pengurangan
    • Menurunkan ekstraksi selanjutnya
    • Mencari pasangan perkalian dari 2x nilai akar ekstraksi
  • Melakukan kembali langkah 4 hingga menemukan hasil yang paling dekat.

Contoh Perhitungan

Kita cari akar kuadrat dari 484. Langkahnya kita ekstrak bilangan dari √484. Kita ekstrak 2 digit bilangan dari satuan

Berikutnya mencari akar ekstraksi pertama dari kiri, yaitu 4. Hasil akar terdekat dari √4 adalah 2, sebab 2 x 2 = 4 (nilai tersebut diambil saat hasil perhitungan paling mendekati dan tidak melebihi 4).

Selanjutnya kurangkan nilai kuadrat 2² = 4, dan menurunkan ekstraksi berikutnya.

Jika sudah selesai, maka kita cari pasangan perkalian dari “2x” nilai akar ekstraksi (2).

Nilai (…) di atas merupakan bilangan bulat yang memenuhi 4 (…) × (…) ≅ 84. Perlu diketahui, simbol ≅ merupakan tanda sama dengan atau hampir mendekati.

Untuk mengetahui nilai titik-titik di atas, kita perlu mencoba menghitung setiap bilangan bulat sampai ditemukan hasil ≅ 84. Caranya adalah seperti berikut.

41 × 1 = 41

42 × 2 = 84

43 × 3 = 129

Dari perhitungan di atas kita ketahui bahwa nilai (…) adalah 2, sebab 42 x 2 = 84.

Karena hasil pengurangan ekstraksi = 0 atau sudah habis, maka proses ekstraksi sudah selesai. Sehingga bisa ditarik kesimpulan bahwa √484 = 22

Cara Menghitung Akar Kuadrat Tidak Sempurna

Sebelum membahas ke rumus menghitung akar kuadrat tidak sempurna, pertama-tama kita harus mengetahui apa itu akar tidak sempurna. Akar tidak sempurna adalah nilai akar yang jika dihitung akan menghasilkan bilangan tidak bulat atau bilangan desimal.

Ketika kita mengerjakannya dengan metode ekstraksi, akar kuadrat tidak sempurna akan menghasilkan nilai bukan 0 ketika semua ekstraksi bulat habis di depan koma. Sehingga untuk menghitungnya mita harus mengambil ekstraksi desimal selanjutnya sampai hasil yang didapat mendekati nilai akar tidak sempurna.

Memahami materi tanpa contoh soal tentu sedikit membingungkan. Maka dari itu berikut adalah contoh perhitungan akar kuadrat tidak sempurna.

Contoh Perhitungan

Misalnya kita ingin mencari akar kuadrat dari 35. Karena terdiri dari dua digit saja, maka hasil ekstraksinya adalah √35.

Langkah pertama adalah mencari akar ekstraksi pertama dari kiri, sehingga diperoleh angka 35.

Sedangkan akar terdekat dan tidak melebihi √35 adalah 5, sebab 5² = 25. Untuk dicatat, nilai diambil ketika hasil paling mendekati dan tidak lebih dari 35.

Berikutnya adalah mengurangkan nilai kuadrat 5² = 25

Dari perhitungan di atas ekstraksi bulat sudah hanis, namun pengurangannya masih sisa. Sehingga kita ambil ekstraksi desimal.

Kita perlu mencari pasangan perkalian 2x nilai akar ekstraksi (5)

Nilai (…) Di atas merupakan 1 digit tambahan bilangan desimal yang memenuhi 10, (…) x (…) ≅ 10,00

Agar kita mengetahui nilai tersebut, kita harus mencoba setiap bilangan bulat sampai mendekati nilai 10,00.

10,1 × 0,1 = 1,01

10,2 × 0,2 = 2,04

10,9 × 0,9 = 9,81

Dari perhitungan di atas kita tahu bahwa 1 digit nilai desimal yang paling mendekati adalah 0,9.

Dengan perhitungan tersebut kita tahu bahwa proses ekstraksi pertama menghasilkan √35 ≅ 5,9.

Baca juga: Cara Membuat Pangkat Dan Akar Di Word

Di atas kita sudah mengetahui bagaimana cara menghitung akar pangkat dua atau akar kuadrat. Setelah mengetahui caranya di blog ini kita bisa paham bahwa materi ini sebenarnya mudah. Supaya lebih terbiasa mengerjakan soal ini, jangan lupa untuk mengerjakan soal latihan seputar akar kuadrat.



Leave a Comment